辅导儿子的时候看到一道题目，今天上午做了一下。内容如下：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为多少？
一、该题的标准解答该题的绝大部分答案非常简单，根据三角形的两边之和大于第三边来求解，具体过程如下：
作AC的中点D，连接OD、BD、OB，
则OD=AD=1，BD=√2
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∴点B到原点O的最大距离为1+√2．
此题这样解看上去没有问题，但是我感觉还是不很严谨，如果在更靠近A这一边取一点D’，显然OD’+BD’＞OD+BD，是不是除了1+√2之外还有更大的值呢？
为此，我进行了求解。
二、求轨迹如果能够将B点的轨迹求出来，那么答案就很容易了，因为点圆最值和点线最值都不困难，勾股定理就能解决。
但是，B点的轨迹既不是直线，也不是圆，我用我目前的知识量暂时还没有办法求出B点的轨迹方程，只能转变思路。
三、数形结合过B作BD⊥OC交y轴于点D
令OA=m，根据一线三垂直，很容易能求出OC、CD、DB，根据勾股定理，能求出OB的表达式，但是最终的结果是根号里面套根号，表达式也不特殊，没办法求出极值。
这个思路有断了，只能再换思路。
四、 利用三角函数求解
令∠ACO=α，OB=m，则∠BCO=90°+α，OC=
在△BOC中，根据余弦定理得，cos∠BCO=（BC²+CO²-OB²）÷（2BC×CO）
∵AC=2,BC=1 ∴OC=AC×cosα=2cosα∵cos(90°+α)=-sinα∴m²=4cos²α+4sinαcosα+1=4cos²α+2sin2α+1∵2cos²α=cos2α+1 ∴4cos2α=2cos2α+2∴m²=2cos2α+2sin2α+2+1=2(cos2α+sin2α)+3∵cos2α+sin2α=√2sin(2α+45°) .∴m²=3+2√2sin(2α+45°)∵sin(2α+45°)的最大值是1,且α为锐角，∴2α+45°=90°，2α=45° 即α=22.5°时，m²的最大值是3+2√2=（1+√2）² .∴m=1+√2即OB的最大值是1+√2，∴当α=22.5°时，OB与AC交与AC的中点，亦即当OB线段经过AC中点时OB值最大.
大功告成！