昨天晚上刷到了一位网友发的一道题目，非常难，尝试着做了一下，不做不知道，一做才知道真的非常难！题目如下图：

一道填空题出这么难的题，建议还是放弃好了，一是难度大，二是计算复杂，而且还要算两遍（两个解），如果是填空题建议果断放弃，大题的话，先保证其他题正确，再来做这个题！

废话少说，讲讲我的解题方法和思路。

因为BC和DE相交，且不共端点，因此不能用中位线来直接求MN，只能通过中线来求，这样就需要求出DN、EN和DE的长度，这个涉及到高中的余弦定理，基础不好的还真的不好求！

在△ABC中，用余弦定理，BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠A，解得AC=3或5，两个解都符合三角形三边关系因此不能轻易舍去，先做一个，另一个同样的方法。

先做AC=3的情形，然后用同理可得。

D、N都是中点，很容易想到中位线。连接DN，得DN=1/2AC=3/2

这个是难点，很考验基本功。

△ABC的三边都知道，因此∠2的余弦值可以求，从而得到∠NCE的余弦值，但是要求NE，还需要求CE的值，CE的值没有告诉，如何求？

∠1=∠2的条件没有用，要用起来。

∵∠1=∠2，∴∠BDE=∠BCE，两个角在BE的同侧，则B、D、C、E四点共圆。

而∠1=∠2，从而得到了反A模型，△ABC∽△AED

根据对应边成比例，解得AE=32/3，DE=28/3

先在△ABC中运用余弦定理，得到cos∠2=-1/7，则cos∠ECN=1/7

在△CEN中运用余弦定理，得到EN=√2281/6

在△DEN中，MN为DE边上的中线，用中线长公式即可求解。

中线长公式有点超纲，但是优等生必须要掌握，不然这个题做到这一步后面就不知道怎么做了！

优等生不但要掌握中线长公式，还要掌握角平分线长公式、高线长公式，这些公式都源自斯图尔特定理，有空的话一定要彻底掌握清楚，选择填空题很有用！

DN²+EN²=2（MN²+ME²），代入数值，解得MN=√397/6

同理可得，当AC=5时，MN=√309/10（同样的过程再来一遍）

昨晚解出来之后，我很高兴。

今天上午我又回想了一下，一个填空题，像我这样技术娴熟的人也花了半个多小时，初中生真的能用这个方法去解？真的是考这个知识点的？有没有更简洁的办法？

于是，我又用建系的方法做了一遍。由于初中几何讲究逻辑关系，能用几何的方法就不要用建系的方法去做，否则计算量太大，用几何的方法一两分钟就OK了，建系往往要一二十分钟，所以我不推荐用建系，实在要用，也只在正方形或长方形的题目想不出来的时候可以尝试。这个特点和高中刚好相反。

言归正传，如上图，以A为原点，AB为x轴正半轴建立平面直角坐标系。因为有60°，所以C、E、M、N的坐标能很方便算出来，整个计算过程快了不少，基本上几分钟就搞定了！

不知道还有没有更快捷的几何方法，应该是有的，只不过我没有发现而已！

打算今天晚上给儿子讲一下这个题目。