李善兰坐标系理论的三阶段发展过程第一阶段：1845年（入墨海书馆之前，《方圆阐幽》尖锥术时期，只有第一象限雏形）。理论来源：承袭宋元四元术（天地人物四元变量）、梅瑴成《数理精蕴》的纵横勾股画法、垛积术。原始模型：互相垂直的两条直线，一条叫底线（横向变量），一条叫高线（纵向变量），两线垂直相交，只取右上方第一片区。核心作用：底线作为自变量，高线作为因变量；底线长短连续变化，高线随之变动，用来描绘尖锥曲线。局限：只有第一象限，没有负数值，没有另外三个分区；只画半条抛物线，没有完整闭合曲线。用途：专门用来刻画二乘尖锥（抛物线）、对数尖锥（双曲线），只用正数区间，完全服务于级数求积。

第二阶段：1852—1859年（墨海书馆阶段，正式完善为四限完整平面坐标系）拓展内容：把两条互相垂直的纵横线向四个方向无限延长，交点一分为四，划分出四个区域，形成完整平面。概念完善：把变量“天地二元”绑定在两条直线上，横线上取左右值，纵线上取上下值，正负对应的数值全部补齐，完成四分区体系。理论升级：把点的位置用两组对应数值来标定，彻底把“勾股定点”升级成坐标定点，建立起代数对应几何轨迹的完整规则。成书载体：《代微积拾级》解析几何篇目。

第三阶段：1866年（离开墨海之后，《圆锥曲线说》定稿阶段，坐标系完全成熟）配套天文需求：为抛物线、双曲线、椭圆三类天体轨道完善作图规则。完善细节：四条分区的正负取值、曲线跨限作图、坐标变换，全部补齐。成果落地：依靠四限坐标系，严格写出三类圆锥曲线的代数对应关系，完成轨道的几何证明。

二、各阶段原始中文名称。1）早年尖锥术（1845）的早期名词横轴：底线、横直线，又称正线纵轴：高线、纵直线，又称垂线垂直交点：中心、心（无正负原点用语）分区：只设右上一区，没有四限划分变量名称：横元为天，纵元为地（四元术旧名：天、地、人、物）2）墨海译书定型名称（1859年初刻本《代微积拾级》原文，无“象限”二字）两条主线：横线、纵线（即后世改称的横轴、纵轴）二线交点：心（即后世改称的原点）四个分区：统称为四限右上：第一限左上：第二限左下：第三限右下：第四限正负规则：右为正、左为负；上为正、下为负。原文：二线相交，交点名曰心。分平面为四限。3）后期名词演变（晚清后期修订用字）“四限”慢慢改写为四象限；“心”改为原点；“横线、纵线”固定为横轴、纵轴；汉字术语定型，一直沿用至近代教科书。补充关键史实：韦烈亚力1867年翻译成英文时，只能直译中文名词：central heart（心）、four limits（四限），欧洲当时没有配套术语，只能音译汉字概念，不存在现在所说西方坐标名词。

看到没？即便是中国数学大师，理论体系也不是出道即巅峰的。