2026年中国高考数学题，你会做吗？

问题：如果 e^x ≥ ax+b，a+b 的最大值是多少？

一步一步回答：
给定所有实数 x 的 e^x ≥ ax+b，为了找到 a+b 的最大值，我们可以使用指数函数的几何和微积分性质。

第 1 步：分析不等式
函数 f(x) = e^x 是严格凸函数。不等式 e^x ≥ ax+b 意味着直线 y = ax+b 必须始终位于或接触曲线 y = e^x。
如果 a < 0，则当 x 到 -∞ 时，线 ax+b 到 +∞，而 e^x 到 0。这违反了不等式。
如果 a = 0，则对于所有 x，e^x ≥ b。由于 lim(x, -∞) e^x = 0，b 必须小于或等于 0，这使得 a+b ≤) 0。
因此，要找到大于 0 的最大值，我们必须有 a > 0。

步骤 2：针对给定的 a 找到 b 的最大值
对于任何固定的正斜率 a，线 y = ax+b 在不跨越曲线 e^x 的情况下可以走的最高点是当它与曲线完全相切时。
设切点为x0。
x0 处切线的斜率是 e^x 的导数，即 e^(x0)。
因此：
a = e^(x0) ---> x0 = ln (a)
x0 处的切线 e^(x0) 的方程为：
y - e^(x0) = a(x - x0)
y = ax + e^(x0) - a *x0
将 e^(x0) = a 和 x0 = ln(a) 代入方程得出：
y = ax + a - a* ln(a))
y = ax + a(1 - ln(a))
通过将其与 y = ax+b 进行比较，
对于任何给定的 a，y 轴截距 b 的最大可能值为：
b = a(1 - ln(a))

步骤 3：最大化 a+b
现在，我们想要最大化表达式 a+b。
将我们的表达式替换为 b：
g(a) = a + a(1 - ln(a)) = a(2 - ln(a))
为了找到临界点，我们使用乘积规则求 g(a) 对 a 的导数：
g'(a) = 1 * (2 - ln(a)) + a * (-1/a)
g'(a) = 2 - ln(a) - 1 = 1 - ln(a)
将导数设置为 0 以求最大值：
1 - ln(a) = 0 --> ln(a) = 1 --> a = e
由于当 0 < a < e 时 g'(a) > 0 且当 a > e 时 g'(a) < 0，因此 a = e 表示全局最大值。

步骤 4：计算最大值
将 a = e 代回函数 g(a)：
g(e) = e(2 - ln(e)) = e(2 - 1) = e

结论
当 a = e 时，b 的最大值为 e(1 - ln(e)) = 0。边界线为 y = ex，在 x = 1 处恰好与 e^x 相交。
a+b 的最大值是 e。