不知道您还记得初中学过的“一元二次方程”吗？比如 x²+2x+1=0这样的式子。我们都学过用“补平方法”公式直接解出来，x=−1。但如果方程变得更复杂，比如x⁵+3x⁴−2x³ +x−7=0 这样的五次方程，您知道怎么解吗？
其实，200年前的数学家已经证明：五次及以上的多项式方程，根本没有像二次方程那样的通用解法。这让无数数学家望而却步，大家都认为这是数学铁律。我们熟悉的二次方程有公式，三次、四次方程也能用根式，比如开方、开三次方等来解。但法国天才数学家伽罗瓦在19世纪证明，五次及以上的多项式方程没有通用的根式解法。原因是“补平方”解法的核心思想是将一个二次多项式改写成一个完全平方项加上或减去一个常数的形式，从而简化求解，这个技巧是针对二次函数的结构设计的。这意味着，靠传统的开方思路，永远得不到五次方程的万能公式。
因此，过去大家只能用近似计算的方法来猜高次方程的答案，或者用计算机反复试算，而结果是无理数，而不是纯代数。无理数依赖于不精确的无穷大概念，并会导致数学中的逻辑问题。
新南威尔士大学的数学家诺曼·怀尔德伯格
不过，澳大利亚新南威尔士大学的数学家诺曼·怀尔德伯格和计算机科学家迪恩·鲁宾最近却打破了这个铁律，提出了一种全新的解法，让这个困扰了数学界几百年的难题出现了转机！
怀尔德伯格和鲁宾的思路非常新奇：他们发现，解方程其实可以和切分多边形这样看似无关的问题联系起来。比如，数学里有一串叫卡塔兰数的神奇数字，专门用来计算把一个多边形切成三角形有多少种方法。而卡塔兰数，正好和二次方程的解法有关。卡塔兰数是一个美丽的整数序列：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429...，用于计算凸多边形的三角剖分数目，它最早由18世纪的数学家欧拉提出，后由比利时数学家卡塔兰进一步研究，因此以卡塔兰命名。
举个例子：第0个卡塔兰数是1，表示没有三角形的情况（退化情况）；第1个卡塔兰数是1，表示一个三角形只有1种三角剖分方式；第2个卡塔兰数是2，表示一个四边形有2种不同的三角剖分方式；第3个卡塔兰数是5，表示一个五边形有5种不同的三角剖分方式。这些数字在我们的生活中随处可见，比如合法的括号表达式数量、二叉树的数目、山峰和山谷的排列方式等，都可以用卡塔兰数来描述。
新南威尔士大学的计算机科学家迪恩·鲁宾
这两位科学家把这个思路推广了：如果我们考虑把多边形切成更多边的形状，比如四边形、五边形，就能得到一组更庞大的数字序列。他们把这组数字叫做“超卡塔兰数”，并用它们建立起一套全新的数学工具。
这些超卡塔兰数可以用一个优雅的公式表示：
C[m₂,m₃,m₄,...] = ((2m₂+3m₃+4m₄+...)!)/((1+m₂+2m₃+3m₄+...)!×m₂!×m₃!×m₄!×...)
其中，m₂表示三角形的数量，m₃表示四边形的数量，依此类推。传统上，我们解方程是为了找到使方程成立的数值。但怀尔德伯格和鲁宾提出了一种全新的解法：将方程的解与特定几何结构的计数联系起来。他们发现，一个形如"1-α+t₂α²+t₃α³+t₄α⁴+..."的多项式方程，可以通过以下幂级数解出：α = ∑C[m₂,m₃,m₄,...]×t₂^m₂×t₃^m₃×t₄^m₄×...，这个看似复杂的表达式实际上有着美丽的几何意义：它计算了所有可能的多边形剖分，并按照特定权重将它们加起来。
为了展示这种方法的实用性，两位科学家用它解决了沃利斯在介绍牛顿方法时使用的著名三次方程：x³-2x-5=0。通过取超卡塔兰数列的前几项，并结合一种称为"自举法"的技术，他们能够快速得到高精度的近似解。仅使用少量项，他们就达到了16位小数的精度，这展示了该方法的强大威力。
通过这种方法，他们不仅能写出高次方程的“级数解”，而且还能用这种解法精确地求出五次方程的答案，这在传统数学里是不可能完成的任务。
在研究过程中，怀尔德伯格和鲁宾还发现了超卡塔兰数背后一个更为神秘的数学结构，"Geode"（晶洞）。他们证明超卡塔兰数的生成函数可以分解为两个因子的乘积，其中一个因子对应了这种新的数学对象。
Geode晶洞数组的前几项是：1, 2, 3, 4, ..., 5, 16, 12, 23, 33, 22, ..., 14, 70, 110, 55, 106, 319, 224, ...，这组数字似乎编码了超卡塔兰数的内在结构，但目前，研究人员还无法对它们的完整理解，等待数学家们进一步探索。
这项研究挑战了200多年来高次方程无解的固有观念，可能会让数学教材的相关章节彻底重写。在物理、工程、计算机等领域，高次方程无处不在，这种新的解法能让科学家和工程师更精确地求解复杂问题。这项发现还揭示了数学中隐藏的深层结构，为未来的数学研究提供了全新方向。
技术力量认为，怀尔德伯格和鲁宾的这项研究不仅提供了解决多项式方程的新方法，更重要的是揭示了数学中不同领域之间的深刻联系。从欧拉研究的多边形剖分，到拉格朗日研究的级数反演，再到现代组合数学，这些看似不相关的数学分支在超卡塔兰数和Geode晶洞结构中找到了共同点。
数学世界远比我们想象的更丰富多彩，就算是以往那些被认为永远无法攻克的难题，也可能在新思路下迎刃而解。有时候，最重要的数学突破不是来自于发明全新的概念，而是从新的角度重新审视那些我们以为已经完全理解的问题。在数学的花园中，每条小路都可能通向未知的美景，只要我们愿意以开放的心态去探索。正如研究者们所言："组合与计算导向的思维方式蕴含着巨大的力量，我们应当更充分地利用它，借助符号计算的帮助，开辟新的数学风景。"
研究报告地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966
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